In den komplexen Zahlen machen wir den Schritt vom eindimensionalen Zahlenstrahl der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ in die Zahlenebene. Um in dieser Ebene geometrisch-elegant rechnen zu können, definieren wir Abbildungen, die Transformationen darstellen. Diese Abbildungen lassen sich durch Matrizen beschreiben. Eine Matrix ist eine Tabelle mit Zahlen, in unserem Fall mit zwei Zeilen und zwei Spalten, also eine $2 \times 2$-Matrix.
Wir benötigen zwei spezielle Matrizen, die als Operatoren im $\mathbb{R}^2$ dienen:
$$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. $$Die Matrix $E$ ist die Einheitsmatrix, die als Identitätsoperator dient, während $J$ eine Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn darstellt.
Skalarmultiplikation
Eine komplexe Zahl kann durch eine Linearkombination von $E$ und $J$ dargestellt werden:
$$Z = aE + bJ = a \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$$Hier repräsentiert $E$ die reelle Komponente $a$ und $J$ die imaginäre Komponente $b$. Somit beschreibt $Z$ eine komplexe Zahl $a + bi$ in Matrixform. Die Matrizen dienen dabei als Operatoren im $\mathbb{R}^2$: $E$ bildet jeden Vektor auf sich selbst ab, während $J$ eine Drehung um 90° bewirkt.
Die allgemeine Drehmatrix um einen Winkel $\theta$ lautet:
$$R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$Für den Grenzfall $\theta = \frac{\pi}{2}$ wird diese zu:
$$R_{\pi/2} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$Ein Vektor, der parallel zur $x$-Achse verläuft, wird folgendermaßen gedreht und zeigt dann in $y$-Richtung:
$$ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot 1+(-1\cdot 0) \\ 1\cdot 1+0\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$Matrixmultiplikation
Die Multiplikation von Matrizen erlaubt es uns, Transformationen zu kombinieren. Das Produkt zweier Matrizen $A$ und $B$ berechnet sich durch:
$$A \cdot B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} & a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} \\ a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} & a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} \end{pmatrix}$$Wenden wir dies auf $J \cdot J$ an:
$$J^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -E$$Die Matrix $J^2 = -E$ repräsentiert eine 180°-Drehung und entspricht in der komplexen Zahlenarithmetik der Beziehung $i^2 = -1$. Somit wird das Verhalten komplexer Zahlen geometrisch und algebraisch elegant durch Matrizen beschrieben.
Merksatz: Die $-1$ bewirkt auf dem Zahlenstrahl eine Drehung um 180°. Wenn $i^2 = -1$ ist, entspricht $i$ einer Drehung um 90°.
Rechenregeln mit komplexen Zahlen
im Körper der Komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ gilt:
$$\begin{aligned} (a + bi) + (c + di) &= (a + c) + (b + d)i \\ (a + bi) \cdot (c + di) &= (ac - bd) + (ad + bc)i \end{aligned}$$Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten
Eine komplexe Zahl $z = a + bi$ kann auch in Polarkoordinaten $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ dargestellt werden, wobei $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ und $\theta = \arctan(b/a)$ ist. Die Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen in Polarkoordinaten können wie folgt berechnet werden:
$$\begin{aligned} z_1 + z_2 &= r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) + r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \\ &= (r_1 \cos \theta_1 + r_2 \cos \theta_2) + i(r_1 \sin \theta_1 + r_2 \sin \theta_2) \\ &= r_3(\cos \theta_3 + i \sin \theta_3) \end{aligned}$$$$\begin{aligned} z_1 \cdot z_2 &= r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \cdot r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \\ &= r_1 r_2(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)) \\ &= r_3(\cos \theta_3 + i \sin \theta_3) \end{aligned}$$Komplexe Zahlen in Exponentialform
Eine komplexe Zahl $z = a + bi$ kann auch in Exponentialform $z = re^{i\theta}$ dargestellt werden, wobei $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ und $\theta = \arctan(b/a)$ ist. Die Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen in Exponentialform können wie folgt berechnet werden:
$$\begin{aligned} z_1 + z_2 &= r_1e^{i\theta_1} + r_2e^{i\theta_2} \\ &= r_3e^{i\theta_3} \end{aligned}$$$$\begin{aligned} z_1 \cdot z_2 &= r_1e^{i\theta_1} \cdot r_2e^{i\theta_2} \\ &= r_1 r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \\ &= r_3e^{i\theta_3} \end{aligned}$$
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