Schwingkreis

Als angehender Funkamateur bekommt man die Formel für die Frequenz des LC-Schwingkreis eingetrichtert und muss diese bei jeder passenden oder unpassenden Gelegenheit anwenden. Wie kommt man aber auf diese Formel?

Ein Schwingkreis besteht aus einem Kondensator und einer Spule, die parallel geschaltet sind. Auf Grund der Kirchhoffschen Maschenregel ist die Spannung in der gesamten Schaltung null:

$$U_L + U_C = 0$$

Die Spannung über dem Kondensator $U_C$ ist von der Ladung und der Kapazität abhängig, die Spannung über der Spule von der Induktivität und der Änderung des Stroms:

$$U_C = \frac{Q}{C} \qquad U_L=L\cdot\frac{dI}{dt}$$

Da aber der Strom die Änderung der Ladung mit der Zeit ist, setzen wir das ein und erhalten einen Term mit einer zweiten Ableitung, die aber die Ladung $Q$ enthält:

$$I=\frac{dQ}{dt} \qquad\curvearrowright\qquad L\frac{d^2Q}{dt^2} + \frac{Q}{C} = 0$$

Wir ziehen die Konstanten an einem Term zusammen:

$$\frac{d^2Q}{dt^2} + \frac{1}{LC}Q = 0$$

Setzt man für den Ausdruck $\frac{1}{LC}=\omega^2$, steht dort die allgemeine Differentialgleichung für harmonische Schwingungen mit der Eigenkreisfrequenz $\omega$. Das heißt, dass wir allein aus der Maschenregel und der Ladungsverteilung gezeigt haben, dass die Schaltung schwingen wird:

$$\frac{d^2Q}{dt^2} + \omega^2Q = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \omega=\sqrt{\frac{1}{LC}}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

Wir rechnen noch die Kreisfrequenz um in die Frequenz mit $\omega = 2\pi f$, und schon steht dort unsere bekannte Formel

$$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \qquad \square$$