Limits

Kommen unendlich viele Mathematiker in eine Bar. Der erste bestellt ein Bier, der zweite ein halbes, der nächste ein Viertel und so weiter. Nach einer Weile stellt der Barkeeper zwei Bier auf die Theke und sagt: “Ihr Jungs kennt wohl Eure Grenzwerte nicht.”

Im englischen ist das Wortspiel noch etwas gelungener: “Obviously, you guys don’t know your limits.”, aber was soll’s: Schauen wir uns an, was es mit diesem Scherz auf sich hat. Es ist üblich, zunächst einmal einige Definitionen anzusehen.

Können Sie noch Folgen?

In der Mathematik wird eine Folge als eine geordnete Liste von Elementen definiert, die meist aus einer bestimmten Menge stammen. Formal kann eine Folge als Funktion von den natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) in eine Menge \(M\) beschrieben werden:

\[ a: \mathbb{N} \rightarrow M \]

Dabei wird jedem natürlichen Zahl \(n\) ein Element \(a(n)\) aus der Menge \(M\) zugeordnet. Das \(n\)-te Element der Folge wird oft mit \(a_n\) oder \(a(n)\) bezeichnet. Eine Folge kann endlich oder unendlich sein, je nachdem, ob die Funktion auf einer endlichen oder unendlichen Menge definiert ist.

Beispiel:

• Die Folge der natürlichen Zahlen: \(a_n = n\), also \(1, 2, 3, 4, \ldots\).
• Eine arithmetische Folge: \(a_n = a_1 + (n-1)d\), wobei \(a_1\) das Anfangsglied und \(d\) die Differenz ist.
• Eine geometrische Folge: \(a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\), wobei \(a_1\) das Anfangsglied und \(r\) das Verhältnis ist.

Wir kriegen es auf die Reihe

Eine Reihe ist dagegen einfach die Summe der Glieder einer Folge. Wenn \( (a_n) \) eine Folge ist, dann ist die zugehörige Reihe die Summe dieser Folge. Eine Reihe wird oft in der Form

\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \]

geschrieben. Es gibt einige wichtige Konzepte im Zusammenhang mit Reihen:

Partialsummen

Die \(n\)-te Partialsumme \(S_n\) einer Reihe ist die Summe der ersten \(n\) Glieder der Folge:

\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \]

Konvergenz

Eine Reihe \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen \( (S_n) \) gegen einen bestimmten Wert \(S\) konvergiert, das heißt:

\[ \lim_{n \to \infty} S_n = S \]

In diesem Fall schreibt man:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = S \]

Und genau das ist der Fall in dem Beispiel mit den Mathematikern, die die zwei Bier auf sehr komplizierte Weise bestellen. Wie man sich umgekehrt klar machen kann, wenn man einen Kuchen halbiert, die Hälfte wieder halbiert und so weiter, bleibt es immer noch ein Kuchen, egal wie oft man den Vorgang wiederholt.