Kosinussatz
Der Kosinussatz ist eine Erweiterung des Pythagoras-Satzes für beliebige Dreiecke, nicht nur für rechtwinklige. Er lautet:
$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma $$Hierbei sind $a$, $b$ und $c$ die Seiten des Dreiecks und $\gamma$ der Winkel, der der Seite $c$ gegenüberliegt. Dieser Satz ermöglicht es, aus zwei Seiten eines Dreiecks und dem eingeschlossenen Winkel die dritte Seite zu berechnen.
Einen klassischen Beweis für den Kosinussatz kann man durch Zerlegung des Dreiecks und Anwendung des Pythagoras-Satzes führen. Hier ist eine einfache Version des Beweises:
Dreieck und Notation: Betrachte ein beliebiges Dreieck $\triangle ABC $ mit Seiten $a$, $b$ und $c$ und Winkeln $\alpha$, $\beta$, und $\gamma$ gegenüber den Seiten $a$, $b$, und $c$ entsprechend. Projiziere die Seite $b$ auf die Seite $c$, wodurch der Punkt $D$ auf $c$ so entsteht, dass $AD$ senkrecht zu $c$ steht. Die Länge der Projektion von $b$ auf $c$ ist $b \cos\gamma$. Das Dreieck $ \triangle ABC $ wird durch $AD$ in zwei rechtwinklige Dreiecke $ \triangle ABD $ und $ \triangle ADC $ zerlegt.
Anwendung des Pythagoras-Satzes: Im Dreieck $ \triangle ABD $ gilt:
$$ AB^2 = AD^2 + BD^2 $$Wobei $BD = b \cos\gamma$ und $AB = c$.
Länge von $AD$: Da $AD$ die Höhe ist, gilt auch:
$$ AD = b \sin\gamma $$Nutze diese Information und setze sie in die Pythagoras-Gleichung ein:
$$ c^2 = (b \sin\gamma)^2 + (b \cos\gamma)^2 $$Vereinfache weiter unter Nutzung der trigonometrischen Identität $ \sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1 $:
$$ c^2 = b^2 (\sin^2\gamma) + \cos^2\gamma = b^2 $$Endgültige Formulierung: Füge die Projektion $AC$ hinzu:
$$ AC = c - b \cos\gamma $$Nun wende den Pythagoras-Satz im Dreieck $ \triangle ADC $ an:
$$ a^2 = AC^2 + AD^2 $$Setze $AC$ und $AD$ ein:
$$ a^2 = (c - b \cos\gamma)^2 + (b \sin\gamma)^2 $$Führe die Quadrierung und Vereinfachung durch:
$$ a^2 = c^2 - 2bc \cos\gamma + b^2\cos^2\gamma + b^2\sin^2\gamma $$Und da $\sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1$, ergibt sich:
$$ a^2 = c^2 + b^2 - 2bc \cos\gamma $$