Beweisen für Anfänger

Die Mathematik hat ihre eigene Sprache, die für den Anfänger oft gewöhnungsbedürftig ist. Vor allem in Übungsaufgaben ist die Brücke von der Aufgabenstellung zum vorher gelernten Stoff oft nicht leicht zu finden. Aber ein mathematischer Text besteht ja nicht nur aus Formeln, sonder auch aus natürlicher Sprache, um die Gedankengänge zu erläutern. Auch der natürlichen Sprache bedient sich der Mathematiker auf formale Weise und sie bildet mehr als nur den „Leim“ zwischen den Formeln.

Sprachliches

Wir machen uns diesen Umstand zu Nutze und untersuchen, welcher Beweisansatz zu welcher Formulierung passt. Und das geht so:

„… ist ein …“ Findet sich diese Formulierung, liegt es nahe, dass ein neu definiertes Objekt in eine Allgemeinheit eingeordnet wird. Beispiel: „Zeigen Sie, dass hm-hm-hm ein Unterraum von V ist.“ Wir kramen jetzt die Definition heraus und setzen ein. Im speziellen Fall kann man auch Abkürzungen verwenden, hier das beliebte Unterraumkriterium.

Beginnt ein Satz mit „Es gibt ein …“, reicht ein Beispiel aus und der Beweis ist fertig. Soll das, was es gibt (zum Beispiel e) auch eindeutig sein, nimmt man ein zweites davon (e‘) und rechnet, bis man findet, dass beide gleich sind (e = e‘).

Taucht die Formulierung „Für alle …“ auf, schaut man erst mal, ob natürliche Zahlen im Spiel sind. Die sind meistens mit n benannt. Dann bietet sich die vollständige Induktion an, ein fast automatisiertes Beweisverfahren. Sind die Zahlen reell, also etwa mit x bezeichnet und kann man die Behauptung direkt für x zeigen, ist man für den gesamten Definitionsbereich fertig.

Allgemeine Tipps

Elegant ist natürlich ein direkter Beweis, vor allem dann, wenn er noch einen Lösungsalgorithmus oder eine Rechenregel mitbringt; das kanonische Beispiel ist hier der euklidische Algorithmus. Kommt man nicht weiter, kann man einen Widerspruchsbeweis versuchen, vielleicht kommt der Widerspruch sehr früh und man muss nicht bis zu Ende rechnen.

Die alten Griechen haben sehr viele Beweise grafisch geführt. Vielleicht hilft es, sich einen Sachverhalt mit einer Zahlengeraden oder einer Fläche zu veranschaulichen.

Was auf jeden Fall langfristig hilft, ist sich die Arbeit anderer anzuschauen und Beweise nachzuvollziehen, mit Papier und Bleistift. Denn wie lässt Goethe schon seinen Mephisto sagen: „Denn was man Schwarz auf Weiß besitzt // Kann man getrost nach Hause tragen.“

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